Question

16．對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），則稱(chēng)f（x）為“局部奇函數(shù)”．p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”；q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)；若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”，可得：?x∈[-1，2]，使得m+2^-x=-（m+2^x），化為：m=-$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），利用單調(diào)性可得其范圍．
q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，則△＞0，解得m范圍．根據(jù)“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p或q一真一假．即可得出．

解答 解：∵p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”，∴?x∈[-1，2]，使得m+2^-x=-（m+2^x），
化為：m=-$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）∈$[-\frac{5}{4}，-1]$．
q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，則（5m+1）²-4＞0，解得$m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$；
∵“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p或q一真一假．
p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}≤m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}}\right.$，得無(wú)交集；
若p假q真，則$\left\{{\begin{array}{l}{m＞-1或m＜-\frac{5}{4}}\\{m＞\frac{1}{5}或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，得$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．
綜上知m的取值范圍為：$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．