Question

7．有下列四個(gè)命題：
①若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sin α＞sinβ；
②若函數(shù)y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，則a=$\frac{1}{2}$；
③函數(shù)y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函數(shù)；
其中正確命題的序號(hào)為④．

Answer 1

分析 ①舉例說明，令α=30°，β=-300°滿足均為第一象限角，且α＞β，但sin 30°＜sin （-300°），可判斷①錯(cuò)誤；
②若函數(shù)y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，則a=±$\frac{1}{2}$，可判斷②錯(cuò)誤；
③利用奇函數(shù)的定義可判斷函數(shù)y=f（x）=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函數(shù)，可判斷③錯(cuò)誤；
④利用余弦函數(shù)y=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，知y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函數(shù)，可判斷④正確；

解答 解：對(duì)于①，α=30°，β=-300°均為第一象限角，且α＞β，但sin 30°=$\frac{1}{2}$＜sin（-300°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若函數(shù)y=2cos（ax-$\frac{π}{3}$）的最小正周期是4π，即T=$\frac{2π}{|a|}$=4π，則a=±$\frac{1}{2}$，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)f（-x）=$\frac{sin（-2x）-sin（-x）}{sin（-x）-1}$=$\frac{sin2x-sinx}{sinx+1}$≠-$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$=-f（x），
所以函數(shù)y=$\frac{sin2x-sinx}{sinx-1}$不是奇函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)閥=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，
所以函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函數(shù)，故④正確；
綜上所述，正確命題的序號(hào)為④．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)與余弦的周期性、奇偶性與單調(diào)性、考查轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．