Question

14．一青蛙從點(diǎn)A₀（x₀，y₀）開始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如圖，A₀（x₀，y₀）的坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)），S_n表示青蛙從點(diǎn)A₀到點(diǎn)A_n所經(jīng)過(guò)的路程．
（1）點(diǎn)A₀（x₀，y₀）為拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₂均在該拋物線上，并且直線A₁A₂經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，證明S₂=3p；
（2）若點(diǎn)A_n（x_n，y_n）（n∈N^*）要么落在y=x所表示的曲線上，要么落在y=x²所表示的曲線上，并且A₀（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），試寫出$\lim_{n→+∞}$S_n（不需證明）；
（3）若點(diǎn)A_n（x_n，y_n）要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}-1}}$所表示的曲線上，要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}+1}}$所表示的曲線上，并且A₀（0，4），求S₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)${A_0}（-\frac{p}{2}，{y_0}）$，由于青蛙依次向右向上跳動(dòng)，所以${A_1}（\frac{p}{2}，{y_0}）$，${A_2}（\frac{p}{2}，-{y_0}）$，由拋物線定義求得S₂的值．
（2）（2）依題意，${x_{2n+1}}=\sqrt{{x_{2n-1}}}，{x_{2n}}={x_{2n-1}}，{y_{2n}}={y_{2n+1}}={x_{2n-1}}（n∈{N^*}）$，再結(jié)合隨著n的增大，點(diǎn)A_n無(wú)限接近點(diǎn)（1，1），求得S_n的極限．
（3）觀察A_n發(fā)現(xiàn)下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為2²，公比為4的等比數(shù)列．相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，再利用求和公式求得S₂₀₁₁的值．

解答 解：（1）由于點(diǎn)A₀（x₀，y₀）為拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)，可設(shè)${A_0}（-\frac{p}{2}，{y_0}）$，由于青蛙依次向右向上跳動(dòng)，
所以${A_1}（\frac{p}{2}，{y_0}）$，${A_2}（\frac{p}{2}，-{y_0}）$，由拋物線定義知：S₂=3p．
（2）依題意，${x_{2n+1}}=\sqrt{{x_{2n-1}}}，{x_{2n}}={x_{2n-1}}，{y_{2n}}={y_{2n+1}}={x_{2n-1}}（n∈{N^*}）$，
$\lim_{n→∞}{S_n}=|{A_0}{A_1}|+|{A_1}{A_2}|+|{A_2}{A_3}|+|{A_3}{A_4}|+…+|{A_{2n-2}}{A_{2n-1}}|+|{A_{2n-1}}{A_{2n}}|+…$
=（x₁-x₀）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（x_2n-1-x_2n）+（y_2n-y_2n-1）+…
=2（x₁-x₀）+2（x₃-x₂）+2（x₅-x₄）+…+2（x_2n-1-x_2n）+…
隨著n的增大，點(diǎn)A_n無(wú)限接近點(diǎn)（1，1）．
橫向路程之和無(wú)限接近$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，縱向路程之和無(wú)限接近$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\lim_{n→+∞}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$．
（3）由題意知${A_1}（1，{2^2}），{A_2}（1，{2^4}），{A_3}（3，{2^4}），{A_4}（3，{2^6}），{A_5}（6，{2^6}），{A_6}（6，{2^8}），…$
其中${A_1}（1，{2^2}），{A_3}（3，{2^4}），{A_5}（6，{2^6}），{A_7}（10，{2^8}），…$${A_2}（1，{2^4}），{A_4}（3，{2^6}），{A_6}（6，{2^8}），{A_8}（10，{2^{10}}），…$．
觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為2²，公比為4的等比數(shù)列．相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為2，
公差為1的等差數(shù)列，并可用數(shù)學(xué)歸納法證明．
所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${x_n}=\frac{{{n^2}+4n+3}}{8}，{y_n}={2^{n+1}}$S₂₀₁₁=|A₀A₁|+|A₁A₂|+|A₂A₃|+|A₃A₄|+…+|A₂₀₁₀A₂₀₀₉|+|A₂₀₁₀A₂₀₁₁|
=（x₁-x₀）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（y₂₀₁₀-y₂₀₀₉）+（x₂₀₁₁-x₂₀₁₀）
=（x₁-x₀）+（y₂-y₀）+（x₃-x₁）+（y₄-y₂）+（x₅-x₃）+…+（y₂₀₁₁-y₂₀₁₀）+（x₂₀₁₁-x₂₀₁₀）
=$（{x_{2011}}+{y_{2011}}）-（{x_0}+{y_0}）=（\frac{{{{2011}^2}+4×2011+3}}{8}+{2^{2011+1}}）-（0+4）=506517+{2^{2012}}$，
所以，${S_{2011}}=506517+{2^{2012}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的極限的定義和求法，數(shù)列求和，屬于難題．