Question

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，P是棱AB上的任意一點(diǎn)，且P到面ACD，BCD的距離分別為d₁，d₂，則d₁+d₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：求得四面體的高，利用V_P-BCD+V_P-ACD=V_A-BCD，代入棱錐的體積公式可得d₁+d₂的值．

解答： 解：如圖AO⊥平面BCD，OB=

2

3

×

3

2

×a=

3

3

a，∴AO=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a，
V_P-BCD+V_P-ACD=V_A-BCD，
在正四面體中，S_△BCD=S_△ACD，
∴

1

3

×S_△BCD×AO=

1

3

×S_△BCD×d₁+

1

3

×S_△ACD×d₂，
∴d₁+d₂=

6

3

a．

故答案為：

6

3

a；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的體積公式及正四面體的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握正四面體的結(jié)構(gòu)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．