Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}滿足（n一1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1），n=1，2，3，…且a₁₀₀=10098，求數(shù)列{a_n}的通式．

Answer 1

分析 由已知遞推式結(jié)合a₁₀₀=10098求得a₁=0，a₂=4，再把數(shù)列遞推式變形得到$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}-\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，累加后求數(shù)列{a_n}的通式．

解答 解：在（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1）中，取n=1，可得a₁=0，
在遞推式中分別取n=2，3，4，…，99，結(jié)合a₁₀₀=10098，可得a₂=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，
由（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1），得
$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}=\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{2}{n（n+1）}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}-\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{{a}_{3}}{3•2}-\frac{{a}_{2}}{2•1}=-2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$，
$\frac{{a}_{4}}{4•3}-\frac{{a}_{3}}{3•2}=-2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$，
$\frac{{a}_{5}}{5•4}-\frac{{a}_{4}}{4•3}=-2（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$，
…
$\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）（n-2）}=-2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=\frac{{a}_{2}}{2}-2（\frac{1}{2}-\frac{1}{n}）=\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{n-2}{n}$=$\frac{4}{2}-\frac{n-2}{n}=\frac{n+2}{n}$，
∴a_n=（n-1）（n+2）（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立．
∴a_n=（n-1）（n+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答此題的關(guān)鍵是由題意得到$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}=\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{2}{n（n+1）}$并裂項(xiàng)，難度較大．