Question

6．已知$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx+sinx}），\overrightarrow b=（{2cosx，sinx-cosx}），f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{5π}{24}，\frac{5π}{12}}]$時(shí)，對(duì)任意的t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步變函數(shù)為正弦型函數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)與的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步利用恒成立問(wèn)題，利用分類討論的思想求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx+sinx}），\overrightarrow b=（{2cosx，sinx-cosx}），f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx-cosx）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x═2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）．
單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]（k∈Z）．
（2）當(dāng)$x∈[{\frac{5π}{24}，\frac{5π}{12}}]$時(shí)，$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，$\sqrt{2}≤f（x）≤2$，
對(duì)任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立．
只需滿足：mt²+mt+3≥f（x）_max成立即可．
即mt²+mt+1≥0即可．
①當(dāng)m=0時(shí)，恒成立
②當(dāng)m≠0時(shí)，只需滿足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$
解得：0＜m≤4
綜合所得：0≤m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問(wèn)題的應(yīng)用．屬于中檔題型．