Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g（x）=x²-（a+1）x
（1）①求函數(shù)f（x）的最大值；
②證明：$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{{4（{n+1}）}}（{n∈{N_+}，n≥2}）$．
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)h（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a-axf（x）與函數(shù)g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）①求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值，得出函數(shù)的最值；②對(duì)（1）變形可得$f（x）=\frac{lnx+1}{x}≤f{（x）_{max}}=f（1）=1⇒\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，利用放縮法逐步得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)$F（x）=h（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a-axf（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（a+1）x-alnx，x＞0$，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，通過探尋函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的零點(diǎn)．

解答 【解析】（1）①$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=1，列表如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值1	單調(diào)遞減

因此增區(qū)間（0，1），減區(qū)間（1，+∞），極大值f（1）=1，無極小值．故函數(shù)f（x）的最大值為1
②由①可得$f（x）=\frac{lnx+1}{x}≤f{（x）_{max}}=f（1）=1⇒\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
令x=n²（n∈N^*，n≥2），則$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜1-\frac{1}{n^2}⇒\frac{lnn}{n^2}＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n^2}）＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n（n+1）}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）（n≥2）$$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）=\frac{1}{2}（n-1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}）=\frac{{2{n^2}-n-1}}{4（n+1）}$
即$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{{4（{n+1}）}}（{n∈{N_+}，n≥2}）$
（2）令$F（x）=h（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a-axf（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（a+1）x-alnx，x＞0$，問題等價(jià)于求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
①當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，顯然有一個(gè)零點(diǎn)x=2，F(xiàn)'（x）=-$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$
②a=1，F(xiàn)'（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，
∵F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，
∴F（x）在（1，4）有唯一零點(diǎn)存在；
③a＞1，當(dāng)0＜x＜1和x＞a時(shí)，F(xiàn)'（x）＜，F(xiàn)（x）遞減，1＜x＜a時(shí)，F(xiàn)（x）遞增，
F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F(xiàn)（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
∴F（x）在（1，2a+2）上有唯一零點(diǎn)；
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜x＜a和x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，當(dāng)（a＜x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）遞增
∵F（1）=a+$\frac{1}{2}$＞0，F(xiàn)（a）=$\frac{a}{2}$（a+2-2lna）＞0，f（2a+2）=-aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)．
綜上，F(xiàn)（x）有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值，通過極值求出函數(shù)的最值；構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)性，通過探尋函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)．難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類討論．