Question

已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且AB：BC：CA=5：4：3，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

1. A.
   點(diǎn)O在△ABC外
2. B.
   S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=6：3：2
3. C.
   點(diǎn)O到AB，BC，CA距離的比是72：45：40
4. D.
   O，A，B，C四點(diǎn)共圓

Answer 1

D
分析：由題意可對(duì)變形，可變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73421.png' />即，再由AB：BC：CA=5：4：3，不妨令A(yù)B，BC，CA長(zhǎng)度分別為5，4，3，由勾股定理可得出此三角形是直角三角形，由這些幾何特征作出如圖的圖形，由圖對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷找出錯(cuò)誤選項(xiàng)，A選項(xiàng)由圖就可判斷出正確，B選項(xiàng)可先根據(jù)圖形求出三個(gè)三角形的面積，作比驗(yàn)證；C選項(xiàng)可求出O到AB，BC，CA的距離，再求它們的比驗(yàn)證，D選項(xiàng)由圖即可觀察出正誤
解答：解：由題意，已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，
可變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73421.png' />即
又，不妨令A(yù)B，BC，CA長(zhǎng)度分別為5，4，3，
由于5²=4²+3²，可知角C是直角，如圖CE=9，CD=8，CF=OC=
由圖知，A選項(xiàng)中點(diǎn)O在△ABC外正確
B選項(xiàng)中，S_△BOC=×4×9=18，S_△COA=×3×8=12，S_△AOB=S_△BOC+S_△COA+S_△CB=18+12+6=36，
故S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=36：18：12=6：3：2，B選項(xiàng)中的結(jié)論正確
C選項(xiàng)中，由作圖知點(diǎn)O到BC，CA距離分別是9，8，到AB的距離為=，于是點(diǎn)O到AB，BC，CA距離的比是：9：8=72：45：40，故C選項(xiàng)中的結(jié)論正確
D選項(xiàng)中O，A，B，C四點(diǎn)共圓不正確，因?yàn)镃點(diǎn)在三角形AOB內(nèi)．
綜上知，D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查由向量的運(yùn)算，得出所研究幾何對(duì)象的幾何特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，由題設(shè)條件判斷出四點(diǎn)O，A，B，C的相對(duì)位置，它們的幾何特征，這些幾何特征是解題的重點(diǎn)，本題的難點(diǎn)是處理題設(shè)中條件與AB：BC：CA=5：4：3，解答本題也要注意賦值的技巧，由于本題中兩個(gè)選項(xiàng)研究位置關(guān)系，兩個(gè)選項(xiàng)研究的是比值關(guān)系，故采取了特值法不妨令A(yù)B，BC，CA長(zhǎng)度分別為5，4，3，此做法大大降低了計(jì)算難度，做題時(shí)要恰當(dāng)使用，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，判斷推理的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大