(2013•蘭州一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα

(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,
π
2
)
,判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
分析:(1)由曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
,知曲線C的普通方程是
x2
3
+y2=1
,由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,
π
2
)
,知點(diǎn)P的普通坐標(biāo)為(4cos
π
2
,4sin
π
2
),即(0,4),由此能判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系.
(2)由Q在曲線C:
x=
3
cosα
y=sinα
上,(0°≤α<360°),知Q(
3
cosα,sinα)
到直線l:x-y+4=0的距離d=
|
3
cosα-sinα+4|
2
=
2
2
|2sin(α+θ)+4|
,(0°≤α<360°),由此能求出Q到直線l的距離的最小值.
解答:解:(1)∵曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
,
∴曲線C的普通方程是
x2
3
+y2=1
,
∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,
π
2
)

∴點(diǎn)P的普通坐標(biāo)為(4cos
π
2
,4sin
π
2
),即(0,4),
把(0,4)代入直線l:x-y+4=0,
得0-4+4=0,成立,
故點(diǎn)P在直線l上.
(2)∵Q在曲線C:
x=
3
cosα
y=sinα
上,(0°≤α<360°)
Q(
3
cosα,sinα)
到直線l:x-y+4=0的距離:
d=
|
3
cosα-sinα+4|
2

=
2
2
|2sin(α+θ)+4|
,(0°≤α<360°)
dmin=
2
2
|4-2|=
2
點(diǎn)評:本題考查橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,注意參數(shù)方程與普通方程的互化,注意三角函數(shù)的合理運(yùn)用.
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