Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（I）解不等式f（x）＞2；
（II）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （I）將絕對(duì)值符號(hào)去掉，函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分段求出不等式的解集，即可確定不等式的解集；
（II）分別求函數(shù)的值域，即可求出函數(shù)的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，
（I）令-x-5＞2，則x＜-7，∵x$≤-\frac{1}{2}$，∴x＜-7；
令3x-3＞2，則x$＞\frac{5}{3}$，∵-$\frac{1}{2}＜x＜4$，∴$\frac{5}{3}＜x＜4$；
令x+5＞2，則x＞-3，∵x≥4，∴x≥4，
∴f（x）＞2的解集為：{x|x＜-7或x＞$\frac{5}{3}$}；
（II）當(dāng)x$≤-\frac{1}{2}$時(shí)，-x-5≥-$\frac{9}{2}$
當(dāng)-$\frac{1}{2}＜x＜4$時(shí)，-$\frac{9}{2}$＜3x-3＜9，
當(dāng)x≥4時(shí)，x+5≥9
∴函數(shù)y=f（x）的最小值為-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．