19.如圖,已知矩形ABCD中,AB=6,AD=4,過(guò)點(diǎn)C的直線l與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N.
(1)若△AMN的面積不小于50,求線段DN的長(zhǎng)度的取值范圍;
(2)在直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,△AMN的面積S是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值及相應(yīng)的AM,AN的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)DN=x(x>0),通過(guò)△NDC~△NAM,得到$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$,然后求出三角形的面積的表達(dá)式,利用面積的范圍求解即可.
(2)利用面積的表達(dá)式,利用基本不等式求解面積的最小值即可.

解答 解:(1)設(shè)DN=x(x>0),△AMN的面積為S,
∵△NDC~△NAM,∴$\frac{x}{4+x}=\frac{6}{AM}$,∴$AM=\frac{6(x+4)}{x}$,
∴$S=\frac{1}{2}AM•AN=\frac{1}{2}•\frac{6(x+4)}{x}•(x+4)=3•\frac{{{{(x+4)}^2}}}{x}$.
由$S=3•\frac{{{{(x+4)}^2}}}{x}≥50$,得$0<x≤\frac{8}{3}$或x≥6.
所以,線段DN的長(zhǎng)度的取值范圍$(0,\frac{8}{3}]∪[6,+∞)$.
(2)$S=3•\frac{{{{(x+4)}^2}}}{x}=3•(x+\frac{16}{x}+8)$
因?yàn)閤>0,∴$S=3•(x+\frac{16}{x}+8)≥3(2\sqrt{x•\frac{16}{x}}+8)=48$,
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{16}{x}$,即x=4,等號(hào)成立,此時(shí)AM=12,
故存在M,N點(diǎn),當(dāng)AM=12,AN=8,△AMN的面積S有最小值48.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的模型的選擇與應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,基本不等式求解表達(dá)式的最值,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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