Question

已知向量

a

=（cos3x，sin3x），

b

=（cosx，-sinx），且x∈[0，

π

4

]，求f（x）=λ

a

•

b

-λ|

a

+

b

|•sin2x（λ≠0）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可得f（x）=λ

a

•

b

-λ|

a

+

b

|•sin2x=

2

λcos（4x+

π

4

），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）=λ

a

•

b

-λ|

a

+

b

|•sin2x（λ≠0）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x∈[0，

π

2

]，
∴|cos2x|=cos2x，
∴f（x）=λ

a

•

b

-λ|

a

+

b

|•sin2x
=λ（cos3xcosx-sin3xsinx）-λ|（cos3x+cosx），（sin3x-sinx）|•sin2x
=λcos4x-λsin2x•

(cos3x+cosx)2+(sin3x-sinx)2

=λcos4x-λsin2x•

2+2cos4x

=λcos4x-λsin2x•2|cos2x|
=λcos4x-λsin2x•2cos2x
=λ（cos4x-sin4x）
=

2

λcos（4x+

π

4

）．
由2kπ-π≤4x+

π

4

≤2kπ（k∈Z）得：

kπ

2

-

5π

16

≤x≤

kπ

2

-

π

16

（k∈Z）；
由2kπ≤4x+

π

4

≤2kπ+π（k∈Z）得：

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

（k∈Z）；
當(dāng)λ＞0時，f（x）的遞增區(qū)間為[

kπ

2

-

5π

16

，

kπ

2

-

π

16

]，遞減區(qū)間為[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]（k∈Z）；
當(dāng)λ＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為[

kπ

2

-

5π

16

，

kπ

2

-

π

16

]，遞增區(qū)間為[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查向量的坐標(biāo)運算及二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，考查綜合運算、求解能力，屬于難題．