Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA為直徑的球O和PB、PC分別交于B₁、C₁
（1）求證B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小為arctan2，試求球O的表面積．

Answer 1

解：（1）連接AC₁、AB₁
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB

∴BP=CP，∠APB₁=∠APC₁
∵AP為球O的直徑，∴AC₁⊥PC₁，AB₁⊥PB₁
∴cos∠APB₁==cos∠APC₁=，
∴PB₁=PC₁…（3分）
∴，
∴B₁C₁∥BC
又∵B₁C₁?平面ABC，BC?平面ABC
∴B₁C₁∥平面ABC …（6分）
（2）過點C作CD⊥AB于點D，則CD⊥平面ABP，過D作DE⊥PB于E，連CE，由三垂線定理知：CE⊥PB，
∴∠CED是二面角C-PB-A的平面角，即∠CED=arctan2，
∴tan∠CED=，
∴DE=，
sin∠PBA=，
∴∠PBA=30°…（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=2×=2，
∴球O的半徑R=1…（11分）
∴球O的表面積為S=4πR²=4π．…（12分）
分析：（1）連接AC₁、AB₁，由題意可得：PA⊥AB、PA⊥AC，BP=CP，∠APB₁=∠APC₁，再根據(jù)球的性質(zhì)可得：cos∠APB₁==cos∠APC₁=，可得，所以B₁C₁∥BC，進而結(jié)合線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）過點C作CD⊥AB于點D，則CD⊥平面ABP，過D作DE⊥PB于E，連CE，根據(jù)二面角的定義可得：∠CED是二面角C-PB-A的平面角，可得tan∠CED=，即DE=，即可得到∠PBA=30°進而結(jié)合題意得到球的直徑求出球的表面積．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與線面平行的判定定理、三垂線定理，以及二面角平面角的定義與作法，本題也考查了球的有關(guān)性質(zhì)與表面積公式，此題綜合性較強屬于難題，考查學生的空間想象能力與分析問題解決問題的能力．