Question

12．已知數(shù)列 {a_n}  的前 n 項和為S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0且S_2n，S_2n-1，S_2n+2成等比數(shù)列，S_2n-1，S_2n+2，S_2n+1成等差數(shù)列，則a₂₀₁₆等于（　�。�

• A． -1009
• B． -1008
• C． -1007
• D． -1006

Answer 1

分析 分別運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，推導(dǎo)出數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差數(shù)列，由S₁=6，S₂=4可得S₃=12，S₄=9，從而數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a₂₀₁₆的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0，且S_2n，S _2n-1．S _2n+2成等比數(shù)列，
S_2n-1．S_2n+2，S_2n+1成等差數(shù)列，
∴依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{{S}_{2n-1}}^{2}={S}_{2n}•{S}_{2n+2}}\\{2{S}_{2n+2}={S}_{2n-1}+{S}_{2n+1}}\end{array}\right.$，
∵S_n＞0，∴2S_2n+2=$\sqrt{{S}_{2n}•{S}_{2n+2}}$+$\sqrt{{S}_{2n+2}•{S}_{2n+4}}$，
即2$\sqrt{{S}_{2n+2}}$=$\sqrt{{S}_{2n}}$+$\sqrt{{S}_{2n+4}}$，
故數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差數(shù)列，
由S₁=6，S₂=4，可得S₃=12，S₄=9，
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\sqrt{{S}_{2n}}$=2+（n-1）=n+1，即S_2n=（n+1）²，
故S_2n-1=$\sqrt{{S}_{2n}•{S}_{2n+2}}$=（n+1）（n+2），
故S₂₀₁₆=1009²，
S₂₀₁₅=1009×1010，
故a₂₀₁₆=S₂₀₁₆-S₂₀₁₅=-1009．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的第2016項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用，以及轉(zhuǎn)化思想的運用．