【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點O,其右焦點為F(1,0),以坐標原點O為圓心,橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y0的相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)經過點F的直線l1,l2分別交橢圓C于A、B及C、D四點,且l1⊥l2,探究:是否存在常數λ,使恒成立.
【答案】(1);(2)存在常數使得恒成立,詳見解析.
【解析】
(1)根據點到直線的距離可以求出短半軸長b,因為焦點已知,所以c=1,根據a2=b2+c2可以求得a2,從而確定橢圓的方程;
(2)分兩類,①l1,l2中一條斜率不存在,②l1,l2的斜率存在且不為0,分別來探索常數λ的值,其中在情形②中,需要設l1:x=ty+1(t≠0),,然后聯立直線方程和橢圓的方程,消去x得到關于y的方程,再利用弦長公式分別求出|AB|和|CD|,并代入到化簡即可得解.
(1)設所求的橢圓方程為,
點O到直線x﹣y0的距離為,
又c=1,∴a2=b2+c2=4,
故所求的橢圓C的方程為.
(2)假設存在常數λ,使恒成立,則,
①當l1,l2中一條斜率不存在時,可知|AB|,|CD|其中一個長為2a=4,另一個為,
此時,
②當l1,l2的斜率存在且不為0時,不妨設l1:x=ty+1(t≠0),,
A(ty1+1,y1),B(ty2+1),
聯立得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0,
∴,,=36t2﹣4(3t2+4)(﹣9)=144(t2+1)>0,
∴,
用代替上式中的t可得,,
∴,
綜上所述,存在常數使得恒成立.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,已知圓的參數方程為(為參數,).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程是.
(1)若直線與圓有公共點,試求實數的取值范圍;
(2)當時,過點且與直線平行的直線交圓于兩點,求的值.
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【題目】已知,,是關于的方程的兩個不等的實根,且,函數的定義域為,記,分別為函數的最大值和最小值.
(1)試判斷在上的單調性;
(2)設,若函數是奇函數,求實數的值.
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【題目】“新冠肺炎”爆發(fā)后,某醫(yī)院由甲、乙、丙、丁、戊5位醫(yī)生組成的專家組到某市參加抗擊疫情.五位醫(yī)生去乘高鐵,按規(guī)定每位乘客在進站前都需要安檢,當時只有3個安檢口開通,且沒有其他旅客進行安檢.5位醫(yī)生分別從3個安檢口進行安檢,每個安檢口都有醫(yī)生去安檢且不同的安檢順序視為不同的安檢,則甲、乙2位醫(yī)生不在同一個安檢口進行安檢的概率為_____.
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【題目】某中學高三(3)班全班50人參加了高考前的數學模擬測試,每名學生要在規(guī)定的2個小時內做一套高三模擬卷,現抽取10位學生的成績,分為甲,乙兩組,其分數如下表:
1號 | 2號 | 3號 | 4號 | 5號 | |
甲組 | 64 | 72 | 86 | 98 | 120 |
乙組 | 60 | 76 | 90 | 92 | 122 |
(Ⅰ)分別求出甲,乙兩組學生考試所得分數的平均數及方差,并由此分析兩組學生的成績水平;
(Ⅱ)試估計全班有多少人及格(90分及以上為及格);
(Ⅲ)從該班級甲,乙兩組中各隨機抽取1名學生,對其考試成績進行抽查,求兩人考試分數之和大于等于180的概率.
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【題目】福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為的個球組成.某彩民利用下面的隨機數表選取組數作為個紅色球的編號,選取方法是從隨機數表(如下)第行的第列數字開始從左向右依次選取兩個數字,則選出來的第個紅色球的編號為( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 |
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 |
A.B.C.D.
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【題目】2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科學家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團隊用小白鼠做接種試驗,檢測接種疫苗后是否出現抗體.試驗設計是:每天接種一次,3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天出現抗體的概率為,假設每次接種后當天是否出現抗體與上次接種無關.
(1)求一個接種周期內出現抗體次數的分布列;
(2)已知每天接種一次花費100元,現有以下兩種試驗方案:
①若在一個接種周期內連續(xù)2次出現抗體即終止本周期試驗,進行下一接種周期,試驗持續(xù)三個接種周期,設此種試驗方式的花費為元;
②若在一個接種周期內出現2次或3次抗體,該周期結束后終止試驗,已知試驗至多持續(xù)三個接種周期,設此種試驗方式的花費為元.
比較隨機變量和的數學期望的大小.
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