Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為F（1，0），以坐標原點O為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y0的相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經過點F的直線l1，l2分別交橢圓C于A、B及C、D四點，且l1⊥l2，探究：是否存在常數λ，使恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在常數使得恒成立，詳見解析.

【解析】

（1）根據點到直線的距離可以求出短半軸長b，因為焦點已知，所以c＝1，根據a2＝b2+c2可以求得a2，從而確定橢圓的方程；

（2）分兩類，①l1，l2中一條斜率不存在，②l1，l2的斜率存在且不為0，分別來探索常數λ的值，其中在情形②中，需要設l1：x＝ty+1（t≠0），，然后聯立直線方程和橢圓的方程，消去x得到關于y的方程，再利用弦長公式分別求出|AB|和|CD|，并代入到化簡即可得解.

（1）設所求的橢圓方程為，

點O到直線x﹣y0的距離為，

又c＝1，∴a2＝b2+c2＝4，

故所求的橢圓C的方程為.

（2）假設存在常數λ，使恒成立，則，

①當l1，l2中一條斜率不存在時，可知|AB|，|CD|其中一個長為2a＝4，另一個為，

此時，

②當l1，l2的斜率存在且不為0時，不妨設l1：x＝ty+1（t≠0），，

A（ty1+1，y1），B（ty2+1），

聯立得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，

∴，，＝36t2﹣4（3t2+4）（﹣9）＝144（t2+1）＞0，

∴，

用代替上式中的t可得，，

∴，

綜上所述，存在常數使得恒成立.