Question

【題目】定義：若數(shù)列和滿足則稱數(shù)列是數(shù)列的“伴隨數(shù)列”.

已知數(shù)列是數(shù)列的伴隨數(shù)列，試解答下列問題：

(1)若，，求數(shù)列的通項公式；

(2)若，為常數(shù)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

(3)若，數(shù)列是等比數(shù)列，求的數(shù)值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意，由，，代入.

可求得，．

(2)由 ，代入，

可得，．即可證明數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列．

(3).由題意可得). 由是等比數(shù)列，且，設(shè)公比為，則.

可證明當(dāng)， 和時均不成立.故 ，().

根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列，有..根據(jù)

可化為

，. 可知關(guān)于的一元二次方程有且僅有兩個非負(fù)實數(shù)根.可證明，，. 由，得. 把，代入可得.．

試題解析：(1)根據(jù)題意，有.

由，，得

，.

所以，．

(2) ，，

∴，，/span>．

∴，．

∴數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列．

(3) ， ，

由，得.

是等比數(shù)列，且，設(shè)公比為，則.

∴當(dāng)，即，與矛盾．因此，不成立.

當(dāng)，即，與矛盾．因此，不成立.

，即數(shù)列是常數(shù)列，于是，().

.

，數(shù)列也是等比數(shù)列，設(shè)公比為，有.

可化為

，.

，

關(guān)于的一元二次方程有且僅有兩個非負(fù)實數(shù)根.

一方面，()是方程的根；另一方面，

若，則無窮多個互不相等的 都是該二次方程的根.這與該二次方程有且僅有兩個非負(fù)實數(shù)根矛盾！

，即數(shù)列也是常數(shù)列，于是，，.

　 由，得.

把，代入解得. ．