Question

10．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸AB為的長為6，離心率為$\frac{1}{3}$．
（1）求橢圓E方程；
（2）過橢圓E的右焦點F的直線與橢圓E交于M，N兩點，記△AMB的面積為S₁，△ANB的面積為S₂，當(dāng)S₁-S₂取得最大值時，求S₁+S₂的值．

Answer 1

分析 （1）由a=3，利用橢圓的離心率公式，即可求得c，則b²=a²-c²=8，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線MN方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨利用韋達(dá)定理及基本不等式的性質(zhì)，即可求得面積最大值時，m的取值，則S₁+S₂=3丨y₁-y₂丨，利用弦長公式，即可求得S₁+S₂的值．

解答 解：（1）由題意可知：2a=6，則a=3，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
則c=1，b²=a²-c²=8，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MN的方程：l_MN：x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8m²+9）y²+16my-64=0，
顯然△＞0，
則y₁+y₂=-$\frac{16m}{8{m}^{2}+9}$，y₁y₂=-$\frac{64}{8{m}^{2}+9}$，
S₁=$\frac{1}{2}$丨AB丨×丨y₁丨=3丨y₁丨，同理S₂=3丨y₂丨，
不妨設(shè)，丨y₁丨＞丨y₂丨，
于是S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨=$\frac{48丨m丨}{8{m}^{2}+9}$，
當(dāng)S₁-S₂最大時，m≠0，
則S₁-S₂=$\frac{48}{8丨m丨+\frac{9}{丨m丨}}$≤$\frac{48}{2\sqrt{8丨m丨•\frac{9}{丨m丨}}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)8丨m丨=$\frac{9}{丨m丨}$，即m²=$\frac{9}{8}$，即m=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則S₁-S₂取最大值，
則S₁+S₂=3丨y₁丨+3丨y₂丨=3丨y₁-y₂丨=3$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
=3$\sqrt{\frac{1{6}^{2}{m}^{2}}{（8{m}^{2}+9）^{2}}+\frac{64×4}{8{m}^{2}+9}}$，
則S₁+S₂=$\frac{144\sqrt{{m}^{2}+1}}{8{m}^{2}+9}$，由m²=$\frac{9}{8}$，
∴S₁+S₂=2$\sqrt{34}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式公式，三角形形的面積公式，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．