Question

1．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（1）當a=0時，求函數在（1，f（1）））處的切線方程
（2）令g（x）=f（x）-ax+1，求g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=lnx+x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
f（1）=1，f′（1）=2，
故切線方程是：y-1=2（x-1），
整理得：y=2x-1；
（2）g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x-ax+1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（-ax+1）（x+1）}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
函數無極值；
當a＞0時，令g′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
故g（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值$\frac{1}{2a}$-lna，無極小值．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．