Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥CD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直線PA與底面ABCD成60°角，M、N分別是PA、PB的中點．
（1）求證：直線MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求證：直線DN⊥直線PC；
（3）求二面角P-MN-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由三角形中位線定理，證出MN∥AB，從而MN∥CD．結(jié)合線面平行判定定理，即可直線MN∥平面PDC；
（2）由PD⊥底面ABCD且直線PA與底面ABCD成60°，結(jié)合題中數(shù)據(jù)證出PD=BD=

3

AD．因此△PBD的中線DN⊥PB，結(jié)合DN⊥CD，證出直線DN⊥平面PBC，從而證出直線DN⊥直線PC；
（3）根據(jù)前面的證明，可得AB⊥平面PAD，結(jié)合MN∥AB得MN⊥平面PAD，從而MN⊥PM且MN⊥DM，即∠PMD為所求二面角P-MN-D的平面角．再由已知條件算出△PMD為底角等于30°的等腰三角形，可得∠PMD=120°，即得二面角P-MN-D的大�。�

解答：解：（1）∵M、N是PA、PB中點，∴MN∥AB，從而MN∥CD．
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC內(nèi)，
∴直線MN∥平面PDC．
（2）∵AB⊥AD，AB=

2

AD，∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，∴直線PA與底面ABCD成60°，可得∠PAD=60°，
Rt△PAD中，PD=

3

AD，可得PD=BD．
∵N是PB的中點，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一點，∴直線DN⊥平面PBC，
∵直線PC?面PBC，∴直線DN⊥直線PC．
（3）由已知AB⊥AD，AB⊥PD，
∵PD、AD相交于一點D，∴AB⊥平面PAD，
又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PAD．
∴結(jié)合PM、DM是平面PAD內(nèi)的直線，可得MN⊥PM，MN⊥DM，
∴∠PMD為所求二面角P-MN-D的平面角．
由已知∠PAD=60°，可得∠MPD=30°，
∵DM是Rt△PDA斜邊PA的中線，∴MD=MP，
∴△PMD為等腰三角形，可得∠PMD=120°．
即二面角P-MN-D的大小為120°．

點評：本題在四棱錐中求證線面平行、線面垂直，并求二面角的大�。�著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的證明方法和二面角的定義及其求法等知識，屬于中檔題．