Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＞1}\\{（6-a）^{x}-2a，x≤1}\end{array}\right.$．
（1）若a=4，求f（f（2））的值；
（2）若f（x）是R上的單調遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由內而外求f（f（2））的值，即先求得f（2），再將之代入函數(shù)式求值；
（2）f（x）為增函數(shù)需要滿足三條件，對數(shù)函數(shù)遞增，指數(shù)函數(shù)遞增，在分界點附近遞增，列出不等式得出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=4時，f（2）=log₄2=$\frac{1}{2}$，
而f（$\frac{1}{2}$）=$（6-4）^{\frac{1}{2}}-8$=$\sqrt{2}$-8，
即f（f（2））=$\sqrt{2}$-8；
（2）∵f（x）是R上的單調遞增函數(shù)，
∴a＞1且6-a＞1，
解得，1＜a＜5，-----------------①
當x=1時，log_a1=0＞（6-a）-2a，
解得，a≥2，--------------------②
由①②得，2≤a＜5，
所以實數(shù)a的取值范圍為：[2，5）．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)的圖象與性質，涉及分段函數(shù)值的求解和分段函數(shù)單調性的確定，屬于中檔題．