Question

設(shè)（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸¹=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，求：
（1）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂；
（2）a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由所給的等式可得a₀=1，在此等式中，令x=1，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂的值．
（2）把所給的式子兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，再令x=1，即可求得a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂ 的值．

解答： 解：（1）由（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸¹=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，可得a₀=1，
在此等式中，令x=1，可得0=1+a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂，故a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂=-1．
（2）把所給的式子兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，可得31×（x-1）³⁰（2x-1）¹⁹⁸¹ +2×1981（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸⁰=a₁x+a₂x₂+a₃x₃+…+a₂₀₁₂x_²⁰¹²，
在此等式中，令x=1，可得0+0=a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂ ，
故a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂=0．

點(diǎn)評：本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．