Question

14．已知f（x）=x³+2x²-4x+5
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）令f'（x）＞0，得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；令f'（x）＜0，得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值以及端點值．由此能求出函數(shù)在[-3，4]上的最值．

解答 解：（1）f（x）=x³+2x²-4x+5，
可得f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=（3x-2）（x+2）＞0，
得x＜-2或x＞$\frac{2}{3}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；
令f'（x）=（3x-2）（x+2）＜0，
得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-2，$\frac{2}{3}$）．
（2）x∈[-3，4]，因為在[-3-2）上，f'（x）＞0，
在（-2，$\frac{2}{3}$）上，f'（x）＜0，x∈（$\frac{2}{3}$，4]，f'（x）＞0；
所以f（x）在（-2，$\frac{2}{3}$）單調(diào)遞減，x∈[-3-2），x∈（$\frac{2}{3}$，4]，函數(shù)是增函數(shù)，
f（-3）=8，f（-2）=13，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{95}{27}$，f（4）=85
所以x=$\frac{2}{3}$時，[f（x）]_min=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{95}{27}$．
當(dāng)x=4時，[f（x）]_max=85．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．