Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$，如果數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=f（a_n），求證：當(dāng)n≥2時，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

分析 利用反證法，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系進行證明即可．

解答 證明�。ㄓ梅醋C法）　假設(shè)a_n≥3，（n≥2），
則由已知得a_n+1=f（_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-2}$，
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$）≤$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$＜1，（∵a_n-1≥3-1），
又易證a_n＞0，∴當(dāng)n≥2時，a_n+1＜a_n，
∴當(dāng)n＞2時，a_n+1＜a_n＜…＜a₂；
 而當(dāng)n=2時，a₂=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}-2}$=$\frac{16}{8-2}$=$\frac{8}{3}$＜3，
∴當(dāng)n≥2時，a_n＜3；
這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，
∴當(dāng)n≥2時，恒有a_n＜3成立．

點評 本題主要考查與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題，利用反證法，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．