Question

15．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（a，c），$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosA）．
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，a=$\sqrt{3}$c，求角A；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=3bsinB，cosA=$\frac{3}{5}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得acosA=ccosC，可求B，利用a=$\sqrt{3}$c，求角A；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=3bsinB，由正弦定理可得sinB=$\frac{1}{3}$，由cosA=$\frac{3}{5}$，即可求cosC的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴acosA=ccosC，
∴sinAcosA=sinCcosC，
∴sin2A=sin2C，
∴2A=2C或2A+2C=π，
∴A=C（舍去）或A+C=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{2}$，
Rt△ABC中，tanA=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=3bsinB，
∴acosC+ccosA=3bsinB，
由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=3sin²B，
∴sin（A+C）=3sin²B，
∴sinB=$\frac{1}{3}$，
∵cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，∵sinA＞sinB，∴a＞b，
∴cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{4-6\sqrt{2}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．