Question

7．設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\sqrt{10}$，復(fù)數(shù)（1+2i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$為純虛數(shù)（其中m∈R），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）直接由題意列關(guān)于a，b的方程組，求解得答案；
（2）把z代入$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求得m的值．

解答 解：（1）由（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a-2b）+（2a+b）i
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，
得a-2b=2a+b，∴a=-3b，
又|z|=$\sqrt{10}$，得a²+b²=10．
聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∵a＞0，∴z=3-i；
（2）∵$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$=3+i+$\frac{m-i}{1+i}$=3+i+$\frac{（m-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$3+i+\frac{m-1-（m+1）i}{2}$=$\frac{m+5}{2}-\frac{m-1}{2}i$為純虛數(shù)，
∴m=-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．