12．已知矩形ABCD的周長為18，把它沿圖中的虛線折成正四棱柱，則這個正四棱柱的外接球表面積的最小值為36π．

分析 正四棱柱的底面邊長為x，高為y，則4x+y=18，0＜x＜4.5，求出正四棱柱的外接球的半徑的最小值，即可求出外接球的表面積的最小值．

解答 解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為y，則4x+y=18，0＜x＜4.5，
正四棱柱的外接球半徑為$\frac{1}{2}\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{18（x-4）^{2}+36}$，
當且僅當x=4時，半徑的最小值=3，
∴外接球的表面積的最小值為4π×9=36π．
故答案為36π．

點評 本題考查外接球的表面積，考查配方法的運用，確定正四棱柱的外接球的半徑的最小值是關(guān)鍵．

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