Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3n²+8n，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且a_n=b_n+b_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n，b_n
（2）設(shè)c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$，且λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3n²+8n，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．即可得出．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且a_n=b_n+b_n+1，可得11=b₁+b₂，17=b₂+b₃，解得d，b₁．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=3×2ⁿ⁺¹（n+1），可得λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$=2$（1+\frac{1}{n+1}）$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3n²+8n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²+8n-[3（n-1）²+8（n-1）]=6n+5，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=11也成立．∴a_n=6n+5．
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且a_n=b_n+b_n+1，
∴11=b₁+b₂，17=b₂+b₃，
相減可得：2d=6，解得公差d=3，代入11=b₁+b₂，可得2b₁+3=11，解得b₁=4．
∴b_nz=4+3（n-1）=3n+1．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=$\frac{（6n+6）^{n+1}}{（3n+3）^{n}}$=3×2ⁿ⁺¹（n+1），
∴λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$=2$（1+\frac{1}{n+1}）$，
又λ＞$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
∴λ＞$[2（1+\frac{1}{n+1}）]_{max}$，
由{1+$\frac{1}{n+1}$}單調(diào)遞減，∴$[2（1+\frac{1}{n+1}）]_{max}$=3，
∴λ＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．