Question

19．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=30°，$\sqrt{3}$AB=2BD，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E為PC上一點，且PE=$\frac{1}{2}$EC．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）若AD=$\sqrt{6}$，求三棱錐E-CBD的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，不妨設(shè)AB=2，BD=$\sqrt{3}$，由余弦定理可得AD，則AD²+BD²=BA²，從而得到BD⊥AD，結(jié)合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由線面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；
（2）過E作EF⊥CD于F，則三棱錐E-CBD的高為EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱錐E-CBD的體積公式求解．

解答 （1）證明：在△ABD中，由余弦定理可得：AD²=BA²+BD²-2BA•BD•cos∠DBA，
不妨設(shè)AB=2，則由已知$\sqrt{3}$AB=2BD，得BD=$\sqrt{3}$，
∴$A{D}^{2}={2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-2×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，則AD²+BD²=BA²，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，而AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；
（2）解：過E作EF⊥CD于F，則三棱錐E-CBD的高為EF，
由已知可得EF=$\frac{2}{3}PD=\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由（1）知BD=AD$•tan60°=3\sqrt{2}$，
∴三棱錐E-CBD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△CBD}•EF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，考查棱錐體積的求法，是中檔題．