(15分) 如圖,已知點
P在圓柱
OO1的底面⊙
O上,
AB、
A1B1分別為⊙
O、⊙
O1的直徑,且
A1A⊥平面
PAB.
(1)求證:
BP⊥
A1P;
(2)若圓柱
OO1的體積
V=12
π,
OA=2,∠
AOP=120°,求三棱錐
A1-
APB的體積.
(3)在
AP上是否存在一點
M,使異面直線
OM與
A1B所成角的余弦值為
?若存在,請指出M的位置,并證明;若不存在,請說明理由.
(1)證明:因為
AP⊥
BP,由
AA1⊥平面
PAB,得
AA1⊥
BP 且
AP∩
AA1=
A; 所以
BP⊥平面
PAA1故
BP⊥
A1P (2)由題意
V=
π·
OA2·
AA1=4
π·
AA1=12
π,解得
AA1=3
由
OA=2,∠
AOP=120°,得∠
BAP=30°,
BP=2
AP=2,∴
S△PAB=×2×2=2
∴三棱錐
A1-
APB的體積
V=
S△PAB·
AA1=×2×3=2
(3)答:在
AP上存在一點
M,當(dāng)
M為
AP的中點時,使異面直線
OM與
A1B所成角的余弦值為
證明:∵O、M分別為
AB、AP的中點,則OM∥BP,且已證
BP⊥
A1P∴∠
A1BP就是異面直線
OM與
A1B所成的角
在Rt
中,
∴在
AP上存在一點
M,當(dāng)
M為
AP的中點時,使異面直線
OM與
A1B所成角的余弦值為
練習(xí)冊系列答案
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.
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.正三棱錐底面邊長為
a,側(cè)棱與底面成角為60°,過底面一邊作一截面使其與底面成
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A.a2 | B.a2 | C.a2 | D.a2 |
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已知球
的表面積為
,
是球面上的三點,點
是
的中點,
,則二面角
的大小為
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