Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求得的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，解方程可得，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合，可得的單調(diào)區(qū)間；（2）討論①當(dāng)時(shí)，求得的最小值，可得結(jié)論成立；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最小值，即可得證.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>， ，

依題意得，即，解得．

所以，顯然在單調(diào)遞增且，

故當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)， 取得最小值．

又的最大值為，故．

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，

所以，

令， ，則，

當(dāng)時(shí)， ,，所以，

當(dāng)時(shí)， ， ，所以，

所以當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞增，

又 ，所以當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值，

所以，即．

綜上，當(dāng) 時(shí)， ．