已知函數(shù)f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)數(shù)學(xué)公式,試證明:對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)x1、x2,不等式數(shù)學(xué)公式恒成立.

解:(I),
∵f(x)在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性,∴在x∈(2,+∞)上f'(x)有正也有負(fù)也有0,
即二次函數(shù)y=2x2-6x+a在x∈(2,+∞)上函數(shù)值有負(fù)數(shù).
∵y=2x2-6x+a是對(duì)稱軸是,開口向上的拋物線,
∴2•22-6•2+a<0的實(shí)數(shù)a的取值范圍(-∞,4)
故答案為(-∞,4).

(II)由(I),
∵a<4,∴,(8分)
設(shè),,h(x)在是減函數(shù),在增函數(shù),
當(dāng)時(shí),h(x)取最小值∴從而g'(x),∴,
函數(shù)是增函數(shù),x1、x2是兩個(gè)不相等正數(shù),
不妨設(shè)x1<x2,則
,
∵x2-x1>0,∴
,即
分析:(Ⅰ)求函數(shù)在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍,可以考慮求導(dǎo)函數(shù)的方法,則導(dǎo)函數(shù)在(2,+∞)上即有正也有負(fù),即有零點(diǎn),求出范圍即可.
(Ⅱ)由(I)求出g(x)的函數(shù)表達(dá)式,然后求導(dǎo)函數(shù)h(x),通過(guò)判斷h(x)的單調(diào)性求出g'(x),然后可以得到函數(shù)是增函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)x1、x2,即可得到不等式成立.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查不等式的證明問(wèn)題,其中涉及到利用求導(dǎo)函數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,涵蓋的考點(diǎn)較多,技巧性強(qiáng),屬于綜合性試題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
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-1)2+(
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-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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