解:(I)
,
∵f(x)在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性,∴在x∈(2,+∞)上f'(x)有正也有負(fù)也有0,
即二次函數(shù)y=2x
2-6x+a在x∈(2,+∞)上函數(shù)值有負(fù)數(shù).
∵y=2x
2-6x+a是對(duì)稱軸是
,開口向上的拋物線,
∴2•2
2-6•2+a<0的實(shí)數(shù)a的取值范圍(-∞,4)
故答案為(-∞,4).
(II)由(I)
,
∵a<4,∴
,(8分)
設(shè)
,
,h(x)在
是減函數(shù),在
增函數(shù),
當(dāng)
時(shí),h(x)取最小值
∴從而g'(x)
,∴
,
函數(shù)
是增函數(shù),x
1、x
2是兩個(gè)不相等正數(shù),
不妨設(shè)x
1<x
2,則
∴
,
∵x
2-x
1>0,∴
∴
,即
分析:(Ⅰ)求函數(shù)在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍,可以考慮求導(dǎo)函數(shù)的方法,則導(dǎo)函數(shù)在(2,+∞)上即有正也有負(fù),即有零點(diǎn),求出范圍即可.
(Ⅱ)由(I)求出g(x)的函數(shù)表達(dá)式,然后求導(dǎo)函數(shù)h(x),通過(guò)判斷h(x)的單調(diào)性求出g'(x)
,然后可以得到函數(shù)
是增函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)x
1、x
2,即可得到不等式成立.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查不等式的證明問(wèn)題,其中涉及到利用求導(dǎo)函數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,涵蓋的考點(diǎn)較多,技巧性強(qiáng),屬于綜合性試題.