Question

（2009•臺(tái)州一模）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PC與平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：本題考查空間中的直線與平面的垂直關(guān)系，考查直線與平面所成的角．證明直線與平面垂直的關(guān)鍵是證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；求線面角的關(guān)鍵是得出直線在平面內(nèi)的射影．（I）利用PA⊥底面ABCD，與已知得PA⊥BC及BC⊥AC，因此可證得BC⊥平面PAC；（Ⅱ）利用平面PAB⊥底面ABCD，作CE垂直AB，得CE⊥面PAB，直線PC與平面PAB所成的角為∠EPC，求出即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?面ABCD
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC；
 （Ⅱ）過C作CE⊥AB于E，連接PE．
∵PA⊥底面ABCD，PA?面PAB，∴面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴CE⊥面PAB，
∴PE是PC在面PAB內(nèi)的射影，∠EPC為直線PC與平面PAB所成的角．
∵AD=CD=1，∠ADC=60°．△ACD 為正三角形，∴AC=1，
PC=

PA2+AC2

=2，在直角三角形ACB中，∠BAC=60，AB=2，BC=

3

．又CE•AB=AC•BC，解得CE=

3

2

∴sin∠EPC=

EC

PC

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和平面垂直關(guān)系的判定，線面角的大小求解．立體幾何的證明問題，得分容易，但得滿分不易，主要原因是在運(yùn)用綜合法證明問題時(shí)，說理不充分，邏輯關(guān)系不嚴(yán)密，這就要求在解決這類問題時(shí)，一定要細(xì)心，做到步步有理由，環(huán)環(huán)相扣，不跳步．