Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個不同交點，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若?x∈[-3，3]時，f（x）+m＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2．由直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個不同交點，結(jié)合函數(shù)圖象，知實數(shù)b的取值范圍是（-2，2）．
（2）由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）_max=f（3）=18，由f（x）+m＜0恒成立，知-m＞f（x）_max=f（3）=18，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x（x∈R），
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，得x＜-1或x＞1．
由f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴f（x）=x³-3x的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間為（-1，1），
∴x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，
x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2．
直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個不同交點，
結(jié)合函數(shù)圖象，知實數(shù)b的取值范圍是（-2，2）．
（2）由（1）知x=-1時，f（x）取極大值f（-1）=2，
x=1時，f（x）取極小值f（1）=-2，
又f（-3）=-18，f（3）=18，
∴f（x）_max=f（3）=18，
∵f（x）+m＜0恒成立，
∴-m＞f（x）_max=f（3）=18，
∴m＜18．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，涉及到函數(shù)在閉區(qū)間上的極值和最值的求法、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．