Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象上一點P（1，0），且在點P處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：

分析：（1）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線在P（1，0）處的切線斜率是-3，求出a的值；然后根據(jù)函數(shù)過點P（1，0），求出b的值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式即可；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=2，然后分類討論，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）因為f′（x）=3x²+2ax，曲線在P（1，0）處的切線斜率為f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因為函數(shù)過（1，0）點，
即-2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x³-3x²+2；
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①當(dāng)0＜t≤2時，在區(qū)間（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=2，
f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2；
②當(dāng)2＜t＜3時，當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況見下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	遞減	-2	遞增	t3-3t2+2

f（x）_min=f（2）=-2，
f（x）_max為f（0）與f（t）中較大的一個，
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0，
所以f（x）_max=f（0）=2，
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是-2．

點評：此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．