某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽,比賽分初賽和決賽兩部分,初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3次者則被淘汰,已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為
19
(已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同,且相互之間沒有影響)
(I)求甲選手回答一個(gè)問題的正確率;
(II)求選手甲進(jìn)入決賽的概率;
(III)設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為ξ,試求ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.
分析:(I)甲答對(duì)一個(gè)問題的正確率為P1由題意,(1-P 1)2=
1
9
,解方程求出正答率
(II)由題意進(jìn)入決賽至少答對(duì)三道題,故進(jìn)行決賽分為三類事件,答對(duì)三題入決賽,四題入決賽,五題入決賽,分別算出這三個(gè)事件的概率,求其和即可;
(III)ξ的取值為3,4,5,對(duì)應(yīng)的事件分別是前三個(gè)題全部答對(duì),前四個(gè)題答對(duì)了三個(gè),其中第四題一定對(duì),前五個(gè)題答對(duì)了三個(gè),第五個(gè)一定答對(duì),分別求出它們的概率,列出分布列,求出期望.
解答:解:(I)設(shè)甲答對(duì)一個(gè)問題的正確率為P1
由題意:(1-P)2=
1
9
?P=
2
3

所以,甲答對(duì)一個(gè)問題的正確率為
2
3
…(3分)
(II)甲答了3道題進(jìn)入決賽的概率為(
2
3
)3=
8
27

甲答了4道題進(jìn)入決賽的概率為
C
2
3
(
2
3
)2(
1
3
)=
8
27

甲答了5道題進(jìn)入決賽的概率為
C
2
4
(
2
3
)3(
1
3
)2=
16
81

故選手甲進(jìn)入決賽的概率為
8
27
+
8
27
+
16
81
=
64
81

所以,選手甲進(jìn)入決賽的概率為
64
81
.…(7分)
(III)ξ的取值為3,4,5,其中
P(ξ=4)=
C
2
3
(
2
3
)
3
(
1
3
)+
C
2
3
(
1
3
)
2
2
3
1
3
=
10
27

P(ξ=5)=
C
2
4
(
2
3
)
2
(
1
3
)
2
=
8
27

P(ξ=3)=1-
8
27
-
10
27
=
1
3

所以,ξ的分布列為精英家教網(wǎng)
其數(shù)學(xué)期望為Eξ=3×
1
3
+4×
10
27
+5×
8
27
=
107
27
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,解題的關(guān)鍵是根據(jù)概率公式求出分布列,再由求期望的公式求出期望.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽,比賽分初賽和決賽兩部分,初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3次者則被淘汰,已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為數(shù)學(xué)公式(已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同,且相互之間沒有影響)
(I)求甲選手回答一個(gè)問題的正確率;
(II)求選手甲進(jìn)入決賽的概率;
(III)設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為ξ,試求ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)四模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽,比賽分初賽和決賽兩部分,初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3次者則被淘汰,已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為(已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同,且相互之間沒有影響)
(I)求甲選手回答一個(gè)問題的正確率;
(II)求選手甲進(jìn)入決賽的概率;
(III)設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為ξ,試求ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年浙江省寧波市十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽,比賽分初賽和決賽兩部分,初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3次者則被淘汰,已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為(已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同,且相互之間沒有影響)
(I)求甲選手回答一個(gè)問題的正確率;
(II)求選手甲進(jìn)入決賽的概率;
(III)設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為ξ,試求ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省2010屆高三第三次質(zhì)檢(理) 題型:解答題

 

    某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽,比賽分初賽和決賽兩部分,初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3次者則被淘汰,已知選手甲連續(xù)兩次

答錯(cuò)的概率為(已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同,且相互之間沒有影響)

   (I)求甲選手回答一個(gè)問題的正確率;

   (II)求選手甲進(jìn)入決賽的概率;

   (III)設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為并求出的數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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