Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=1處取得極小值-2．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；
（II）若對任意的μ∈（0，+∞），函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)y=f（x+μ）-v的圖象C₂至多有一個交點．求實數(shù)v的范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx，知f′（x）=3x²+2bx+c，由函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=1處取得極小值-2，解得b=0，c=-3．由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
（II）y=f（x+μ）-v=（x-μ）³-3（x-μ）-v，由方程組

y=(x+μ)3-3(x+μ)-v y=x3-3x

，得3μx²+3μ²x+μ³-3μ-v=0至多有一個實根．由此能求出實數(shù)v的范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=1處取得極小值-2，
∴

f(1)=1+b+c=-2 f′(1)=3+2b+c=0

，
解得b=0，c=-3．…3 分
∴f′（x）=3x²+2bx+c=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴（-∞，-1），（1，+∞）是單調遞增區(qū)間，（-1，1）是單調遞減區(qū)間．…6 分
（II）y=f（x+μ）-v
=（x-μ）³-3（x-μ）-v，
由方程組

y=(x+μ)3-3(x+μ)-v y=x3-3x

，
得3μx²+3μ²x+μ³-3μ-v=0至多有一個實根，…8 分
∴△=9μ⁴-12μ（μ³-3μ-v）≤0，
∴-μ³+12μ+4v≤0，
∴v≤

1

4

μ3-3μ當u＞0時恒成立．…10 分
令g(μ)=

1

4

μ3-3μ，(μ＞0)，
則g′(μ )=

3

4

μ2-3
=

3

4

(μ-2)(μ+2)，
由此知函數(shù)g（μ）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
所以當μ=2時，函數(shù)g（μ）取最小值，即為-4，于是v≤-4．…13 分

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．