Question

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，，點(diǎn)A為橢圓C上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，，且．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若是A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，連接NA，直線NA與橢圓C相交于點(diǎn)E，直線與x軸相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，再由，可解得，即得；（2）設(shè)出直線方程和，兩點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可得的坐標(biāo)，即得直線的方程，令，將直線NA的方程和橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，即得M的坐標(biāo).

（Ⅰ）由橢圓的對(duì)稱性可知，∴．故，得，又，，，．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）顯然，直線NA的斜率存在，且不為0，設(shè)直線NA的方程為．

代入橢圓C的方程，得．

由題知，，得，

設(shè)，，則，，．

∴直線的方程為，令，可得

．

∴