已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且當x>0時,f(x)>1.
(1)求證:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集為{x|-3<x<2},求f(2009)的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)an=|f(n)-14|(n∈N*),若數(shù)列{an}從第k項開始的連續(xù)20項之和等于102,求k的值.
【答案】分析:(1)欲證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),設(shè)x1>x2證明f(x1>f(x2),即可.
(2)先將不等式f(x2-ax+5a)<2轉(zhuǎn)化為,利用函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”,轉(zhuǎn)化成整式不等式,再結(jié)合方程根的定義求解出a,b,最后利用等差數(shù)列求出f(2009)的值即可;
(3)設(shè)從第k項開始的連續(xù)20項之和為Tk,則Tk=ak+ak+1++ak+19.下面對k進行分類討論,列出關(guān)于k的方程,解之即得k值.
解答:(1)證明:設(shè)x1>x2,則x1-x2>0,從而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0.(2分)
f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2),
故f(x)在R上是增函數(shù).(4分)
(2)設(shè)2=f(b),于是不等式為
,即.(6分)
∵不等式f(x2-ax+5a)<2的解集為{x|-3<x<2},
∴方程x2-ax+5a-b=0的兩根為-3和2,
于是,解得
∴f(1)=2.(8分)
在已知等式中令x=n,y=1,得f(n+1)-f(n)=1.
所以{f(n)}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.
f(n)=2+(n-1)×1=n+1,故f(2009)=2010.(10分)
(3)ak=|f(k)-14|=|(k+1)-14|=|k-13|.
設(shè)從第k項開始的連續(xù)20項之和為Tk,則Tk=ak+ak+1+…+ak+19
當k≥13時,ak=|k-13|=k-13,Tk≥T13=0+1+2+3+…+19=190>102.(11分)
當k<13時,ak=|k-13|=13-k.
Tk=(13-k)+(12一k)+…+1+0+1+…+(k+6)=k2一7k+112.
令k2-7k+112=102,解得k=2或k=5.(14分)
(注:當k≥13時,ak=|k一13|=k一13,令,無正整數(shù)解.得11分)
點評:本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.
(1)求過函數(shù)圖象上的任一點P(t,f(t))的切線方程;
(2)若直線l是曲線y=f(x)的切線,求證:f(x)≥kx+b對任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b對任意x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件.

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若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m.
(1)若x2-1比1遠離0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明).

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若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,
1
2
)對稱;
(Ⅱ)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在實數(shù)b
,使得任給a∈[
1
4
,
1
3
],對任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,則f(f(x))=
1
1

下面三個命題中,所有真命題的序號是
①②③
①②③

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
②任取一個不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對x∈R恒成立;
③存在三個點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.

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