Question

如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點，試用向量的方法：
（1）求證：D₁F⊥平面ADE；
（2）求CB₁與平面ADE所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積來解決線面垂直
（2）通過引入法向量，來求線面的夾角．

解答： 解：（1）以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由于正方體的邊長為2，則：

D1F

=（0，1，-2），

DA

=（2，0，0），

DE

=（2，2，1）
由于

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

DE

=0
所以：D₁F⊥DA，D₁F⊥DE
又DA∩DE=D
D₁F⊥平面ADE
（2）

CB1

=(2，0，2)
由（1）知平面ADE的法向量

n

=

D1F

=(0，1，-2)
cos＜

CB1

，

n

＞=

-4

8 • 5

=-

10

5

設(shè)CB₁與平面ADE所成的角為θ，
所以：sinθ=

10

5

，cosθ=

15

5

∴CB₁與平面ADE所成的角的余弦值為

15

5

點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標(biāo)系，向量的垂直問題，線面垂直的判定定理，法向量的應(yīng)用，線面的夾角公式．