Question

5．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x≥1}\\{-x+1，x＜1}\end{array}\right.$，則滿足方程f[f（m）]=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（m）的m的取值范圍是（-∞，0]．

Answer 1

分析 通過m的取值，分類討論方程是否有解，推出結果即可、

解答 解：當m≥1時，f（m）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$＜0，
f[f（m）]=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（m）化為：-$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$+1=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}m）$，無意義．
當m＜1時，f（m）=-m+1＞0，
①-m+1＜1，可得m∈（0，1），
方程f[f（m）]=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（m）有意義，
此時方程化為：-（-m+1）+1=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-m+1）$，
可得m=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-m+1）$，如圖：方程無解．

②當m≤0時，-m+1＞1，
方程化為：$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-m+1）$═$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-m+1）$，恒成立．
綜上m的取值范圍是：（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，考查數(shù)形結合分類討論思想的應用，考查轉化首項以及計算能力．