Question

15．已知圓錐曲線x²+ay²=1的一個焦點坐標為$F（\frac{2}{{\sqrt{|a|}}}，0）$，則該圓錐曲線的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 將非標準方程化為標準方程，根據圓錐曲線類型對a分類，再根據焦點坐標求得a，再求離心率．

解答 解：∵x²+ay²=1即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{a}}=1$，且焦點坐標為$F（\frac{2}{{\sqrt{|a|}}}，0）$，
∴圓錐曲線是焦點在x軸的橢圓或雙曲線．
若0＜$\frac{1}{a}＜1$即a＞1，則該方程表示橢圓，
∴$1-\frac{1}{a}=（\frac{2}{\sqrt{|a|}}）^{2}$
解得：a=5，
此時橢圓的離心率為e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
若$\frac{1}{a}＜0$即a＜0，則該方程表示雙曲線
∴$1+（-\frac{1}{a}）=（\frac{2}{\sqrt{|a|}}）^{2}$，
∴a=-3
此時橢圓的離心率為e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故填：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

點評 考查圓錐曲線中橢圓與雙曲線的基本性質，考查了分類討論思想，屬于中檔題．由于會忽略圓錐曲線的類型判斷，故屬于易錯題．