Question

圓C：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換

x′=ax y′=by

（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是隨機的．）得到曲線C′，則在已知曲線C′是焦點在x軸上的橢圓的情形下，C′的離心率e＞

3

2

的概率等于

1

2

．

Answer 1

分析：求出圓C：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換曲線C′的方程，結(jié)合曲線C′是焦點在x軸上的橢圓，求出a，b滿足條件，及C′的離心率e＞

3

2

滿足條件，求出對應(yīng)平面區(qū)域面積后，代入幾何概型公式，可得答案．

解答：解：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換可得曲線C′，
故曲線C′的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1
若線C′是焦點在x軸上的橢圓
則a＞b
若C′的離心率e＞

3

2

則a＞2b
又由0＜a＜2，0＜b＜2，
則滿足曲線C′是焦點在x軸上的橢圓的基本事件對應(yīng)圖形如下圖中三角形所示
滿足C′的離心率e＞

3

2

的基本事件如下圖中陰影部分所示
則C′的離心率e＞

3

2

的概率P=

S陰影

S△ABC

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查的知識點是伸縮變換，幾何概型，其中求出曲線C′是焦點在x軸上的橢圓的區(qū)域面積，及C′的離心率e＞

3

2

的區(qū)域面積是解答本題的關(guān)鍵．