Question

3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，BC=1，AC=3，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{14}}{6}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 36π
• B． 16π
• C． 12π
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 根與余弦定理和勾股定理的逆定理即可判斷三角形ABC是直角三角形，根據(jù)棱錐的體積求出O到平面ABC的距離，利用勾股定理計(jì)算球的半徑OA，得出球的面積．

解答 解：由余弦定理得cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{A{B}^{2}+9-1}{6AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得AB=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+BC²=AC²，即AB⊥BC．
∴AC為平面ABC所在球截面的直徑．
作OD⊥平面ABC，則D為AC的中點(diǎn)，
∵V_O-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×OD$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴OA=$\sqrt{O{D}^{2}+A{D}^{2}}$=2．
∴S_球O=4π•OA²=16π．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了球與棱錐的關(guān)系，判斷△ABC的形狀是關(guān)鍵．