Question

14．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）+f（y²-8y-5）＜0恒成立，則當(dāng)x＞3時(shí)，x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． （9，49）
• B． （13，49]
• C． （13，45）
• D． （13，49）

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到f（x）是奇函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）+f（y²-8y-5）＜0恒成立，
則任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+26）＜-f（y²-8y-5）=f[-（y²-8y-5）]恒成立，
則x²-6x+26＜-（y²-8y-5），
即任意的x，y∈R，不等式x²-6x+26+y²-8y-5＜0恒成立，
即（x-3）²+（y-4）²＜4，
當(dāng)x＞3時(shí)，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
由圖象得過(guò)圓心C，與圓相交的點(diǎn)D，到原點(diǎn)距離最大，
OB的距離最小，
∵圓心C（3，4），半徑R=2，
∴B（3，2），A（3，6），
則OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，則OD=5+2=7，
則最大值為OD²=49，
最小值為3²+2²=9+4=13，但此時(shí)最大值和最小值取不到，
即x²+y²的范圍是（13，49）．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)不等式恒成立結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．