Question

A、B是雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1右支上的兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)到Y(jié)軸的距離是4，則|AB|的最大值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則|AF|+|BF|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，AB取得最大值．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，
則|AF|+|BF|≥|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，AB取得最大值．
設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d₁，B到準(zhǔn)線的距離為d₂，
則由雙曲線的第二定義可得|AF|=ed₁=

3

2

d₁，|BF|=ed₂=

3

2

d₂，
∵AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的右準(zhǔn)線方程為x=

4

3

，
∴d₁+d₂=2（4-

4

3

）=

16

3

，
∴|AF|+|BF|=

3

2

d₁+

3

2

d₂=

3

2

×

16

3

=8
∴AB的最大值為8．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長(zhǎng)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．