Question

已知函數(shù)為常數(shù)，e=2．71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行．
(1)求k的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設，其中為的導函數(shù)．證明：對任意．

Answer 1

(1) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)證明過程見試題解析．

試題分析：(1)利用在處的導數(shù)為0，可求k,進而再利用導函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；(2)由（1）易證不等式在時成立，只需證時，又，易證最大值為,則對任意．
(1)，
由已知，，∴．
由,
設，則，即在上是減函數(shù)，
由知，當時，從而，
當時，從而．
綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
(2)由(1)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立，
當時，＞1，且，∴，
設，，則，
當時，，當時，，
所以當時，取得最大值，
所以，
綜上，對任意