Question

已知函數(shù)為常數(shù)，e=2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸平行．
(1)求k的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意．

Answer 1

(1) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)證明過(guò)程見(jiàn)試題解析．

試題分析：(1)利用在處的導(dǎo)數(shù)為0，可求k,進(jìn)而再利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；(2)由（1）易證不等式在時(shí)成立，只需證時(shí)，又，易證最大值為,則對(duì)任意．
(1)，
由已知，，∴．
由,
設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，
由知，當(dāng)時(shí)，從而，
當(dāng)時(shí)，從而．
綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，≤0＜1+，故只需證明在時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，＞1，且，∴，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，
綜上，對(duì)任意