Question

13．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=6，則焦點弦中大小為$\frac{9}{2}$的有幾條（　�。�

• A． 1條
• B． 2條
• C． 0條
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 首先，寫出拋物線的焦點坐標(biāo)，然后，求解直線的方程，利用焦半徑公式求解p，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線與拋物線的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵拋物線y²=2px（p＞0），
∴它的焦點坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
∵直線l傾斜角為60°，
∴直線l的方程為：y-0=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），即y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
代入拋物線的方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$
∵|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=x₂+$\frac{p}{2}$，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{8p}{3}$=6，
∴p=$\frac{9}{4}$
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=$\frac{9}{2}$x，通徑長$\frac{9}{2}$，
∴焦點弦中大小為$\frac{9}{2}$的有1條，
故選：A．

點評 本題重點考查了拋物線的幾何性質(zhì)、方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．