Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，PA=AC=2，BC=1
（Ⅰ）求證：AH⊥面PBC；
（Ⅱ）求PM與平面AHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N在線段PB上，且

PN

PB

=λ，MN∥平面ABC，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AH⊥面PBC，只要證AH垂直于面PBC內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知易證AH⊥PC，再由已知結(jié)合線面垂直的判斷證得BC⊥面PAC，則BC⊥AH，然后由線面垂直的判斷得結(jié)論；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A平行于CB的直線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由空間向量求線面角；
（Ⅲ）由

PN

PB

=λ，把N點(diǎn)坐標(biāo)用含有λ式子表示，由

MN

與平面ABC的一個法向量（0，0，1）的數(shù)量積為0列式求得λ的值．

解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥面PAC，
又AH?面PAC，
∴AH⊥BC，
∵H為PC的中點(diǎn)，且PA=AC，
∴AH⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴AH⊥面PBC；
（Ⅱ）解：如圖，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A平行于CB的直線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，2，0），H（0，1，1），P（0，0，2），M（0，

1

2

，

1

2

）．
則

MP

=(0，-

1

2

，

3

2

)，

AB

=(1，2，0)，

AH

=(0，1，1)，
設(shè)平面AHB的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
則由

m • AB =0 m • AH =0

，得

x+2y=0 y+z=0

，
取z=-1，則y=1，x=-2．
∴

m

=(-2，1，-1)．
∴PM與平面AHB所成角的正弦值為|cos＜

m

，

MP

＞|=|

m • MP

| m |•| MP |

|
=|

- 1 2 - 3 2

(- 1 2 )2+( 3 2 )2 • (-2)2+12+(-1)2

|=

2 15

15

；
（Ⅲ）解：設(shè)N（x₁，y₁，z₁），
由

PN

PB

=λ，得

PN

=λ

PB

，
即（x₁，y₁，z₁-2）=λ（1，2，-2），
解得：N（λ，2λ，2-2λ）．
則

MN

=(λ，2λ-

1

2

，

3

2

-2λ)．
∵M(jìn)N∥平面ABC，
∴

3

2

-2λ=0，解得λ=

3

4

．
∴MN∥平面ABC時實數(shù)λ的值為

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求線面角，是中高檔題．