Question

15．一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，已知H，M，N分別是DE，AF，BC的中點．
 （1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求證：MN⊥AH；
（3）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析 由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）取BF的中點P，連接MP，NP．又M，N分別為AF，BC的中點．利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可證明MN∥平面CDEF．
（2）利用線面垂直的判定與性質定理可得：AH⊥平面CDEF，即可證明MN⊥AH；
（3）利用V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×AH×{S}_{CDEF}$即可得出．

解答 解：由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）證明：取BF的中點P，連接MP，NP．
又M，N分別為AF，BC的中點．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
∴MP∥平面CDEF，NP∥平面CDEF，
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）證明：由題意AH⊥DE，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE=A，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AH，
∵DE∩EF=E，
∴AH⊥平面CDEF，
∵MN∥平面CDEF，
∴AH⊥MN，即MN⊥AH；
（3）解：由（2）可知AH⊥平面CDEF．
∵S_{四邊形CDEF}=EF•DE=$2×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，
∴V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面平行與垂直的判定及其性質定理、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．