Question

13．2016年10月21日，臺風“海馬”導致江蘇、福建、廣東3省11市51個縣（市、區(qū)）189.9萬人受災，某調(diào)查小組調(diào)查了受災某小區(qū)的100戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出頻率分布直方圖．
（Ⅰ）臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如表所示，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為捐款數(shù)額超過或不超過500元和自身經(jīng)濟損失是否超過4000元有關？
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災居民中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4000元的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

	經(jīng)濟損失不超過4000元	經(jīng)濟損失超過4000元	總計
捐款超過500元	60
捐款不超過500元		10
總計

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有70人，經(jīng)濟損失超過4000元的有30人，求出K²，得到有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率．由題意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100戶中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有70戶，經(jīng)濟損失超過4000元的有30戶，則表格數(shù)據(jù)如下

	經(jīng)濟損失不超過4000元	經(jīng)濟損失超過4000元	總計
捐款超過500元	60	20	80
捐款不超過500元	10	10	20
總計	70	30	100

k²的觀測值$k=\frac{{100×{{（60×10-10×20）}^2}}}{80×20×70×30}≈4.762$．因為4.762＞3.841，P（K²≥3.841）=0.05．所以可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟損失超過4000元的居民的頻率為0.3，將頻率視為概率，由題意知ξ的取值可能有0，1，2，3，ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{3}{10}）^0}{（\frac{7}{10}）^3}=\frac{343}{1000}$，$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{10}）^1}{（\frac{7}{10}）^2}=\frac{441}{1000}$，$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{10}）^2}{（\frac{7}{10}）^1}=\frac{189}{1000}$，$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{10}）^3}{（\frac{7}{10}）^0}=\frac{27}{1000}$，
從而ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$，$D（ξ）=np（1-p）=3×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=0.63$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．